Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的單調區間；

（2）若關于的方程有四個不同的解，求實數應滿足的條件；

（3）在（2）條件下，若成等比數列，用表示t.

Answer 1

【答案】（1）在單調遞增，在單調遞減；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入，用分類討論的去掉絕對值符號后結合函數單調性性質得解；

（2）用分類討論的去掉絕對值符號得分段函數，然后用導數研究函數的單調性，求出滿足條件的的關系；

（3）由韋達定理得兩兩互為倒數，結合等比數列性質及韋達定理可用表示出．

（1）時，，

易知在時，是增函數，是減函數，

所以的單調增區間，單調減區間是．

（2），

，

當時，

在是遞增，在上遞減，不合題意；

當時， 時，由得，在上單調遞減，在是單調遞增，

時，由得，在上單調遞減，在是單調遞增，

又，，

∴實數應滿足的條件是．

（3），即或，

即或,

在中用代換得，即，

∴方程與方程的根互為倒數．

設這四個根從小到大依次為，則，

所以，

若成等比數列，則，，，．

∴，，

，

∴，

∴．