Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²+bn（b為常數），且對于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k構成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于S_n=n²+bn（b為常數），可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．當n=1時，a₁=S₁=1+b，即可得出．由于對于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k構成等比數列．利用等比數列的性質即可得出．
（2）

1

anan+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+bn（b為常數），
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+bn-[（n-1）²+b（n-1）]=2n-1+b．
當n=1時，a₁=S₁=1+b，符合上式．
∴a_n=2n-1+b．∵對于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k構成等比數列．
∴（4k-1+b）²=（2k-1+b）（8k-1+b），化為2k（b-1）=0，
∴b=1．
∴a_n=2n．
（2）∵

1

anan+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)，
不等式T_n＜

3

13

即為

1

4

(1-

1

n+1

)＜

3

13

，解得n＜12．
∴使不等式T_n＜

3

13

成立的n的最大值為11．

點評：本題考查了利用“當n=1時，a₁=S₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求通項公式、“裂項求和”方法、等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．