Question

如圖是一個從的”闖關”游戲.

規則規定:每過一關前都要拋擲一個在各面上分別標有1,2,3,4的均勻的正四面體.在過第n(n=1,2,3)關時,需要拋擲n次正四面體,如果這n次面朝下的數字之和大于則闖關成功.
(1)求闖第一關成功的概率;
(2)記闖關成功的關數為隨機變量X,求X的分布列和期望。

Answer 1

(1) P=.
(2) X的分布列為
                                    
EX=

解析試題分析：(1)拋一次正四面體面朝下的數字有1,2,3,4四種情況,大于2的有兩種情況,故闖第一關成功的概率為P=.
(2)記事件”拋擲n次正四面體,這n次面朝下的數字之和大于”為事件則拋擲兩次正四面體面朝下的數字之和的情況如圖所示,易知.

設拋擲三次正四面體面朝下的數字依次記為:x,y,z,
考慮x+y+z>8的情況,當x=1時,y+z>7有1種情況;
當x=2時,y+z>6有3種情況;當x=3時,y+z>5有6種情況;
當x=4時,y+z>4有10種情況.
故.
由題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3.
P(X 
P(X 
P(X 
P(X.
∴X的分布列為
                                    
EX=
考點：古典概型概率的計算，獨立事件同時發生的概率公式，隨機變量的分布列及其期望。
點評：中檔題，本題綜合性較強，綜合考查了古典概型概率的計算，獨立事件同時發生的概率公式，隨機變量的分布列及其期望。在（II）小題的解答中，注意就x+y+z的不同取值情況加以分析，易錯易漏，應高度注意。此類問題比較典型，對計算能力、分析問題解決問題的能力要求較高。是高考題中的“應用問題”。