Question

【題目】如圖，拋物線的焦點為F，準線為，交x軸于點A，并截圓所得弦長為，M為平面內動點，△MAF周長為6．

（1）求拋物線方程以及點M的軌跡的方程；

（2）“過軌跡的一個焦點作與軸不垂直的任意直線”交軌跡于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則為定值，且定值是”.命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線，過該圓錐曲線焦點的弦，的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的焦點，的長度與、兩點間距離的比值.試類比上述命題，寫出一個關于拋物線的類似的正確命題，并加以證明.

（3）試推廣（2）中的命題，寫出關于拋物線的一般性命題（不必證明）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）過拋物線的焦點作與軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則為定值，且定值為，證明見解析；（3）過拋物線的焦點作與對稱軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點，線段的垂直平分線交對稱軸于點，則為定值，且定值為．

【解析】

（1）根據弦長公式可求出弦心距，即得準線的方程和點的坐標，從而可求出拋物線方程，再根據△MAF周長為6，設出點，根據橢圓的定義即可求出點M的軌跡的方程；

（2）根據題意類比即可寫出；

（3）利用（2）中原理，即可寫出．

（1）設圓心到直線的距離為，∴，解得．

所以準線：，點，點，即有，∴，即拋物線．

因為，所以，即點的軌跡是以點為焦點，長軸長為，焦距為的橢圓，∴，解得，即有．

故點M的軌跡的方程為．

（2）關于拋物線的類似的正確命題為：過拋物線的焦點作與軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則為定值，且定值為．證明如下：

如圖所示：

設直線：

由得，，設，

所以，，

即的中點坐標為，

的垂直平分線的方程為：，令，解得，

∴．

又因為，所以．

（3）過拋物線的焦點作與對稱軸不垂直的任意直線，交拋物線于兩點，線段的垂直平分線交對稱軸于點，則為定值，且定值為．