Question

【題目】已知為實數，數列滿足，.

（Ⅰ）當和時，分別寫出數列的前5項；

（Ⅱ）證明：當時，存在正整數，使得；

（Ⅲ）當時，是否存在實數及正整數，使得數列的前項和？若存在，求出實數及正整數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見解析

【解析】

（I）利用遞推公式，依次計算出的值.（II）當時，，此時數列為遞減的等差數列，且公差為，故總有一項是不大于的.根據這一項在之間討論，結合數列的遞推公式，判斷出正整數存在.（III）將分成三類，求得的表達式，由此判斷出不存在實數正整數，使得.

（Ⅰ）當時，；

當時，.

（Ⅱ）當時，. 所以，在數列中直到第一個小于等于的項出現之前，數列是以為首項，為公差的遞減的等差數列.

即.

所以，當足夠大時，總可以找到，使.

（1）若，令，則存在正整數，使得.

（2）若，因為，則，

令，則存在正整數，使得.

綜述所述，則存在正整數，使得.

（Ⅲ）①當時，

當時，，

當時，（），

令，，而此時為奇數，所以不成立；又不成立，所以不存在正整數，使得.

②當時，……

所以數列的周期是4，

當，時，；

當，時，；

當，時，；

當，時，.

所以（）.

所以或者是偶數，或者不是整數，即不存在正整數，使得.

③當時，

（），不存在正整數，使得.

綜述所述，不存在實數正整數，使得.