Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）和點(diǎn)B（0，-b）的直線到原點(diǎn)的距離是

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在非零實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于不同的兩點(diǎn)M、N都在以B為圓心的圓上，若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）和點(diǎn)B（0，-b）的直線y=

b

c

x-b到原點(diǎn)的距離是

3

2

．可得

|-b|

( b c )2+1

=

3

2

，化為

3

a=2bc，又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（2）存在非零實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于不同的兩點(diǎn)M、N都在以B為圓心的圓上．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀）．把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（1+4k²）x²+16kx+12=0．△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₀，y₀．k_BP．由于兩點(diǎn)M、N都在以B為圓心的圓上，可得BP⊥MN．k_BP•k_MN=-1，解出即可．

解答： 解：（1）∵過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）和點(diǎn)B（0，-b）的直線y=

b

c

x-b到原點(diǎn)的距離是

3

2

．
∴

|-b|

( b c )2+1

=

3

2

，化為

3

a=2bc，
又

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=1，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）存在非零實(shí)數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于不同的兩點(diǎn)M、N都在以B為圓心的圓上．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀）．
聯(lián)立

y=kx+2 x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+16kx+12=0．
△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，化為k2＞

3

4

．
∴x₁+x₂=

-16k

1+4k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

-8k

1+4k2

，y₀=kx₀+2=

2

1+4k2

．
k_BP=

y0+1

x0

=

3+4k2

-8k

．
∵兩點(diǎn)M、N都在以B為圓心的圓上，
∴BP⊥MN．
∴k•

3+4k2

-8k

=-1．
化為4k²=5，
解得k=±

5

2

，滿足△＞0．
∴k=±

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、線段的垂直平分線的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．