Question

如圖，三棱錐P-ABC，底面ABC為邊長為2

3

的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（1）求證：DO∥面PBC；
（2）求證：AC⊥面BOD；
（3）設M為PC中點，求二面角M-BD-O的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接AO交BC于點E，連接PE，通過DO∥PE，利用直線與平面平行的判定定理，證明求證DO∥面PBC；
（2）由PB=PC，且E為BC中點可得PE⊥BC，結合平面PBC⊥平面ABC，可得PE⊥平面ABC，進而DO⊥平面PBC，即DO⊥AC，連接BO，則AC⊥BO，由線面垂直的判定定理可得：AC⊥平面DOB；
（3）設M為PC中點，以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出A、B、P、C、D、M的坐標，求出向量

BM

，

DB

，設出平面BDM的法向量為

n

，利用向量夾角公式，可得二面角M-BD-O的余弦值．

解答： 證明：（1）連接AO交BC于點E，連接PE．
∵O為正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
且E為BC中點．又AD=2DP，
∴DO∥PE，--------------（2分）
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC
∴DO∥面PBC．--------------（4分）
（2）∵PB=PC，且E為BC中點，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，--------------（5分）
由（1）知，DO∥PE，
∴DO⊥平面PBC，
∴DO⊥AC--------------（6分）
連接BO，則AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB．--------------（8分）
解：（3）由（1）（2）知，EA，EB，EP兩兩互相垂直，且E為BC中點，
所以分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

如圖，則A（3，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，1），D（1，0，

2

3

），C（0，-

3

，0），M（0，-

3

2

，

1

2

）------------（9分）
∴

BM

=（0，-

3 3

2

，

1

2

），

DB

=（-1，

3

，-

2

3

）
設平面BDM的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • DB =0 n • BM =0

，即

-x+ 3 y- 2 3 z=0 - 3 3 2 y+ 1 2 z=0

令y=1，則

n

=（-

3

，1，3

3

）．--------------（10分）
由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，
∴

AC

=（-3，-

3

，0）為平面DBO的法向量，
∴cos＜

n

，

AC

＞=

| . n • AC |

| . n |•| AC |

=

2 3

31 •2 3

=

31

31

，
由圖可知，二面角M-BD-O的余弦值為

31

31

．--------------（12分）

點評：本題考查直線與平面的平行的判斷，在與平面垂直的性質定理的應用，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力，以及邏輯推理能力．