Question

【題目】已知函數f（x）=ex（x2+x+a）在（0，f（0））處的切線與直線2x﹣y﹣3=0平行，其中a∈R．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）在區間[﹣2，2]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（x2+3x+a+1），

故f′（0）=a+1，而切線的斜率是2，

故a+1=2，解得：a=1

（2）解：由（1）得f（x）=ex（x2+x+1），

f′（x）=ex（x+1）（x+2），

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，

故函數f（x）在[﹣2，﹣1）遞減，在（﹣1，2]遞增，

而f（﹣2）= ，f（﹣1）= ，f（2）=7e2，

故f（x）在[﹣2，2]的最小值是 ，最大值是7e2

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（0）=2，求出a的值即可；（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．