Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+ （a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y=0．
（1）求a，b的值；
（2）當x＞1時，f（x）﹣kx＜0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）證明：當n∈N* ， 且n≥2時， + + +…+ ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣ = ，f′（1）=a﹣ ，f（1）= ．

∵函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y=0．

∴a﹣ = ，1﹣2× =0，解得b=2，a=1

（2）解：f（x）=lnx+ ．

當x＞1時，f（x）﹣kx＜0恒成立，

∴lnx+ ﹣kx＜0，化為：k + =g（x）．

g′（x）= ﹣ = ．

令h（x）=x﹣xlnx﹣1，（x＞1）．

h′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，

∴h（x）＜h（1）=0，

∴g′（x）＜0，∴函數g（x）在x∈（1，+∞）上單調遞減．

∴k≥g（1）=

（3）證明：由（2）可知：x＞1時， + ＜ ，化為 ，

令x=n≥2，則 ＞ = ．

∴當n∈N*，且n≥2時， + + +…+ ＞ + + +…+ +

= ﹣（ ）=

【解析】（1）f′（x）= ﹣ = ，f′（1）=a﹣ ，f（1）= ．由函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y=0． 可得a﹣ = ，1﹣2× =0，解得a，b．（2）f（x）=lnx+ ．當x＞1時，f（x）﹣kx＜0恒成立，lnx+ ﹣kx＜0，化為：k + =g（x）．利用導數研究函數g（x）的單調性極值與最值即可得出．（3）由（2）可知：x＞1時， + ＜ ，化為 ，令x=n≥2，則 ＞ = ．利用“累加求和”方法與“裂項求和”方法即可得出．