Question

成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列{b_n}中的b₃、b₄、b₅。
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：數列是等比數列。

Answer 1

解：（1）設成等差數列的三個正數分別為a-d，a，a+d。
依題意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5
所以{b_n}中的b₃，b₄，b₅依次為7-d，10，18+d
依題意，有（7-d）（18+d） =100，解得d=2或d=-13（舍去）
故{b_n}的第3項為5，公比為2
由b₃=b₁·2²，即5=b₁·2²，解得。
所以{b_n}是以為首項，2為公比的等比數列，
其通項公式為。
（2）數列{b_n}的前n項和
即S_n+
∴
因此是以為首項，公比為2的等比數列。