Question

已知定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，且當x∈（-1，0）時，f（x）=-

3x

9x+1

．
（1）求函數f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調性；
（3）當λ取何值時，方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數解？

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（-x）+f（x）=0得函數f（x）是奇函數，根據函數奇偶性的定義和性質即可求，求函數f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用函數單調性的定義即可判斷f（x）在（0，1）上的單調性；
（3）根據函數奇偶性和單調性的性質求出函數f（x）在（-1，1）上的取值范圍即可．

解答： 解：（1）因為f（x）是x∈R上的奇函數，所以f（0）=0．
設x∈（0，1）時，-x∈（-1，0），
所以f（-x）=-

3-x

9-x+1

=-

3x

9x+1

=-f（x），所以f（x）=

3x

9x+1

，
所以f（x）=

- 3x 9x+1 ，x∈(-1，0) 0，x=0 3x 9x+1 ，x∈(0，1).

．
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

(3x1-3x2)+(3x1+2x2-3x2+2x1)

(9x1+1)(9x2+1)

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

，
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以3x1＜3x2，3x1+x2＞3⁰=1，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在（0，1）上為減函數．
（3）因為f（x）在（0，1）上為減函數，
所以

31

91+1

＜f（x）＜

30

90+1

，即f（x）∈（

3

10

，

1

2

）．
同理，f（x）在（-1，0）上時，f（x）∈（-

1

2

，-

3

10

）．
又f（0）=0，當λ∈（-

1

2

，-

3

10

）∪（

3

10

，

1

2

）或λ=0時，方程f（x）=λ在x∈（-1，1）上有實數解．

點評：本題主要考查指數函數的應用，根據函數奇偶性的性質求出函數的解析式是解決本題的關鍵．利用定義法是判斷函數單調性的基本方法，綜合考查函數的性質．