Question

定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）+f′（x）＞2，f（0）=3，則不等式e^xf（x）＜2e^x+1（其中e為自然對數的底數）的解集為

 

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Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：令F（x）=e^xf（x）-2e^x-1，從而求導F′（x）=e^x（f（x）+f′（x）-2）＞0，從而由導數求解不等式．

解答： 解：令F（x）=e^xf（x）-2e^x-1，
則F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-2]＞0，
故F（x）是R上的單調增函數，
而F（0）=e⁰f（0）-2e⁰-1=0，
故不等式e^xf（x）＜2e^x+1（其中e為自然對數的底數）的解集為（-∞，0）；
故答案為：（-∞，0）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及利用函數求解不等式，屬于中檔題．