Question

【題目】已知定義在實數集上的偶函數和奇函數滿足.

（1）求與的解析式；

（2）求證：在區間上單調遞增；并求在區間的反函數；

（3）設（其中為常數），若對于恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ，. (2)證明見解析；，. (3)

【解析】

（1）利用奇偶性可得，，即，聯立求解即可；

（2）求出的解析式，根據定義式證明在上單調遞增，根據反函數的概念求出的反函數和定義域；

（3）由題目所給的條件，把替換成，并寫出的取值范圍，通過變量分離把放到不等式的一邊解出的取值范圍.

解：（1），∴，

為偶函數，為奇函數，∴，

，∴，

∴，.

（2）對，且，

，，

∴在上是增函數；

的值域是，

根據反函數的概念

設，則，令，

則，再由解得

，即.

因為，

所以，所以，

因此的反函數，.

（3）在上單調遞增，

令，，

∴對于恒成立，

∴，

對于恒成立，令

，

當且僅時等號成立，

∴，∴.