Question

過點（2，2）引橢圓x²+4y²=4的切線，則切線方程為（　�。�

• A、3x-8y+10=0
• B、5x+8y-2=0
• C、3x-8y+10=0或x-2=0
• D、5x+8y-2=0或3x+10=0

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用直線和橢圓的位置關系，進行削元，利用判別式△=0即可得到結論．

解答： 解：橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1，
若過點（2，2）的切線斜率k不存在，
則切線方程為x=2，此時直線與橢圓相切，滿足條件，
當切線斜率k存在時，則切線方程為y-2=k（x-2），即y=kx+2-2k，代入方程x²+4y²=4得
（1+4k²）x²+8k（2-2k）x+4（2-2k）²-4=0，
則判別式△=[8k（2-2k）]²-4×（1+4k²）×[4（2-2k）²-4]=0，
解得k=

3

8

，即此時切線方程y=

3

8

x+2-2×

3

8

，
即3x-8y+10=0，
故切線方程為3x-8y+10=0或x-2=0，
故選：C

點評：本題主要考查直線和橢圓的位置關系的求解，聯立直線方程和橢圓方程轉化為一元二次方程，利用判別式△=0是解決本題的關鍵，運算量較大，比較復雜，本題也可以使用排除法直接由x-2=0即可選出正確答案C．