Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求導求出，對分類討論，以（或）是否恒成立作為分類標準，當（或）不恒成立，求出的解，即可得出結論；

（Ⅱ）構造函數，原問題轉化為對任意的，總存在，使得成立，即，利用求導方法，求出的最值，將問題轉化為與的函數關系，即可求解.

（Ⅰ）的定義域為，，

令，，

（1）當，即時，

恒成立，即恒成立，

故函數的單增區間為，無單減區間.

（2）當，即時，由解得

或，

i）當時，，

所以當或時，

當時.

ii）當時，，

所以當時，

當時；

綜上所述：

當時，函數的單增區間為，無單減區間.

當時，函數的單增區間為和，

單減區間為.

當時，函數的單增區間為，

單減區間為.

（Ⅱ）令，.

原問題等價于：對任意的，總存在，

使得成立，即.

∵，∵，，

∴，∴在上單調遞增，

∴，

即對任意的恒成立，

令，，只需，

，∵，∴，

∴在上單調遞增，∴，

所以.