Question

【題目】已知點(diǎn)P是拋物線C:上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PH⊥x軸，點(diǎn)H為垂足.點(diǎn)M是直線PH上一點(diǎn)，且在拋物線的內(nèi)部，直線l過(guò)點(diǎn)M交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).

（1）證明：直線l平行于拋物線C在點(diǎn)P處切線；

（2）若|PM|=, 當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAB的面積如何變化？

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）的面積為定值.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，則，易知，從而得，利用求導(dǎo)可以得切線斜率，從而得證；

（2）由，得，從而可得直線，與拋物線聯(lián)立得，再由，利用韋達(dá)定理求解即可.

（1）證明：設(shè)點(diǎn)，

則，，

由，得，

故，即拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為．

又直線的斜率，即，

所以直線平行于拋物線在點(diǎn)處的切線．

（2）解：由，得，

于是直線，即．

聯(lián)立直線與拋物線得消去y得，

∴，

∴，

故的面積為定值．