Question

【題目】如圖，ABC﹣A1B1C1是底面邊長為2，高為 的正三棱柱，經過AB的截面與上底面相交于PQ，設C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．、

（1）證明：PQ∥A1B1；
（2）當 時，求點C到平面APQB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A1B1C1=QP，

∴AB∥PQ，

又∵AB∥A1B1，

∴PQ∥A1B1．

（2）解：建立如圖所示的直角坐標系．

∴O（0，0，0），P（0，0， ），A（0，1，0），B（﹣ ，0，0），C（0，﹣1，0），

∴ =（0，﹣1， ）， =（﹣ ，﹣1，0）， =（0，﹣2，0），

設平面APQB的法向量為 =（x，y，z），

則 ，可得 ，

取 = ，

∴點C到平面APQB的距離d= = = ．

【解析】（1）由平面ABC∥平面A1B1C1 ， 利用線面平行的性質定理可得：AB∥PQ，又AB∥A1B1 ， 即可證明PQ∥A1B1 ． （2）建立如圖所示的直角坐標系．設平面APQB的法向量為 =（x，y，z），則 ，利用點C到平面APQB的距離d= 即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解棱柱的結構特征的相關知識，掌握兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形．