Question

【題目】設數列{an}是各項均為正數的等比數列，其前n項和為Sn ， 且a1a5=64，S5﹣S3=48．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設有正整數m，l（5＜m＜l），使得am ， 5a5 ， al成等差數列，求m，l的值；
（3）設k，m，l∈N*，k＜m＜1，對于給定的k，求三個數 5ak ， am ， al經適當排序后能構成等差數列的充要條件．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為數列{an}是各項均為正數的等比數列，所以設數列{an}的公比為q，且q＞0．

又a1a5= =64，且a3＞0，所以a3=8．

又因為S5﹣S3=48，所以a4+a5=8q2+8q=48，解得q=2，所以an=2n．

（2）因為am，5a5，al成等差數列，所以10a5=am+a1，即10×25=2m+2l．

所以5=2m﹣6+2l﹣6．

故2m﹣6，2l﹣6中有且只有一個等于1．

因為正整數m，l滿足5＜m＜l，

所以 ，解得 ．

（3）設5ak，am，al經適當排序后能構成等差數列．

①若25ak=am+al，則102k=2m+2l，

當且僅當10=2m﹣k+2l﹣k，當且僅當5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1．

因為正整數k，m，l滿足k＜m＜l，當且僅當l﹣k﹣1＞m﹣k﹣1≥0，且l﹣k﹣1≥1，

所以 2l﹣k﹣1＞2m﹣k﹣1≥1，2l﹣k﹣1≥2．當且僅當 即

②若2am=5ak+al，則22m=52k+2l，所以2m+1﹣k﹣2l﹣k=5（*）．

因為m+1﹣k≥2，l﹣k≥2，

所以2m+1﹣k與2l﹣k都為偶數，而5是奇數，所以，等式（*）不成立，

從而等式2am=5ak+al不成立．

③若2al=5ak+am，則同②可知，該等式也不成立．

綜合①②③，得m=k+1，l=k+3．

設m=k+1，l=k+3，則5ak，am，al為5ak，ak+1，ak+3，即5ak，2ak，8ak．

調整順序后易知2ak，5ak，8ak成等差數列．

綜上所述，5ak，am，al經適當排序后能構成等差數列的充要條件為 ．

【解析】（1）由題意和等比數列的等比中項先求出，由不難得出，最終得出通項公式；
（2）由通項公式不難將其三項表示出來,再由三項成等差數列得出等式，從而中有且只有一個等于1，再由正整數滿足，得出結果；
（3）設,經過排序后能構成等差數列，由，得到；由得到等式不成立，由,等式也不成立，從而,所以能構成等差數列的充要條件為