Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以軸正半軸為始邊的銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點，若點的橫坐標是，點的縱坐標是.

（1）求的值；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）－（2）

【解析】

試題分析：（1）由任意角的三角函數(shù)的定義得cosα＝，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系及銳角范圍求得sinα＝＝．同理由任意角的三角函數(shù)的定義得sinβ＝，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系及銳角范圍求得cosβ＝－＝－．最后根據(jù)兩角差余弦公式得cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×(－)＋×＝－．（2）由于的范圍為(，)，所以先求的正弦值：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋×＝，再根據(jù)正弦函數(shù)單調性確定的值

試題解析：因為銳角α的終邊與單位圓交于A，且點A的橫坐標是，

所以，由任意角的三角函數(shù)的定義可知，cosα＝，

從而sinα＝＝．

因為鈍角β的終邊與單位圓交于點B，且點B的縱坐標是，

所以sinβ＝，從而cosβ＝－＝－．

（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×(－)＋×＝－．

（2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×(－)＋×＝．

因為α為銳角，β為鈍角，故α＋β∈(，)，

所以α＋β＝．