Question

【題目】設拋物線的焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線與拋物線交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓過點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設過點的直線分別與拋物線C交于點D，E和點G，H，且，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）48.

【解析】

（1）根據題意可得：圓的半徑，從而求出值，得到拋物線方程；

（2）設出和的方程，分別與拋物線聯立方程，消去，得到關于的一元二次方程，寫出韋達定理，利用弦長公式求出、的長，從而表示出四邊形面積，利用二次函數的性質求出最小值。

由于過點 作垂直于 軸的直線與拋物線交于兩點，則，

以線段為直徑的圓過點，則圓的半徑， 解得：,

故拋物線的方程為.

（2）設直線的方程為，聯立，消去得：

，設點，則，，

所以，

同理可得：，

則四邊形的面積：

.

令，則

當，即時，，四邊形DGEH面積的最小值為48．