Question

【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺(tái)和棱錐拼接而成的組合體，其底面四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面.

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳角二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得，根據(jù)線面垂直得，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得.最后根據(jù)得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解得法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系確定所成銳角二面角的余弦值.

試題解析：(1)證明：因?yàn)榈酌嫠倪呅?/span>是菱形，

∴，

又∵平面，

∴，

∵， ∴平面，

∴.

又棱臺(tái)中，

∴

(2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則，， ，，，，

所以，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,

∴，.

令，得， ∴；

設(shè)平面的法向量為，則,

∴，

令，得，， ∴，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.