Question

關于函數f（x）=2（sinx-cosx）cosx的四個結論：
P₁：最大值為

2

；
P₂：最小正周期為π；
P₃：單調遞增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3

8

π]，k∈Z；
P₄：圖象的對稱中心為(

k

2

π+

π

8

，-1)，k∈Z．
其中正確的有（　　）

A．1 個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：利用三角恒等變換將f（x）=2（sinx-cosx）cosx轉化為f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，利用正弦函數的性質對P₁、P₂、P₃、P₄四個選項逐一判斷即可．

解答：解：∵f（x）=2（sinx-cosx）cosx
=sin2x-（1+cos2x）
=

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）的最大值為

2

-1，故P₁錯誤；
其最小正周期T=

2π

2

=π，故P₂正確；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
∴f（x）=2（sinx-cosx）cosx的單調遞增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z），故P₃正確；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z）得x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的圖象的對稱中心為（

kπ

2

+

π

8

，-1）（k∈Z），故P₄正確．
綜上所述，正確的有3個．
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查三角恒等變換與正弦函數的性質，屬于中檔題．