Question

關于函數f（x）=2^x-2^-x有下列三個結論；①函數f（x）的值域為R；②函數f（x）是R上的增函數；③對任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0成立．其中正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：令t=2^x，則t＞0，則y=t-

1

t

（，t＞0），利用導數可判斷函數y=t+

1

t

在（0，+∞）上的單調性；結合函數在R上單調遞增可得當t=1時，y=0，當t＞1時，y＞0，0＜t＜1，y＜0，即函數的值域為R；f（x）+f（-x）=2^x-2^-x+2^-x-2^x=0，

解答：解：令t=2^x，則t＞0，則y=t-

1

t

（，t＞0），y′=1+

1

t2

＞0在（0，+∞）上恒成立，即函數y=t+

1

t

在（0，+∞）上單調遞增，故②正確
結合函數在R上單調遞增可得：當t=1時，y=0，當t＞1時，y＞0，0＜t＜1，y＜0，即函數的值域為R，故①正確
∵f（x）+f（-x）=2^x-2^-x+2^-x-2^x=0，故③正確
故答案為①②③

點評：本題主要考查了形如y=x-

1

x

的函數的單調性、值域、奇偶性的判斷，屬于基礎試題