Question

如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別是AB、BC、CD上，且滿足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，過E、F、G的平面交AD于點H．
（1）求AH：HD；
（2）求證：EH、FG、BD三線共點．

Answer 1

考點：直線與平面平行的性質

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明EF∥平面ACD，可得EF∥GH．而EF∥AC，可得AC∥GH，即可求AH：HD；
（2）證明四邊形EFGH為梯形，EH∩FG=P，證明P∈BD，即可證明EH、FG、BD三線共點．

解答： （1）解：∵AE：EB=CF：FB=2：1，∴EF∥AC．
∴EF∥平面ACD．
而EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，
∴EF∥GH．而EF∥AC，
∴AC∥GH．
∴AH：HD=CG：GD=3，即AH：HD=3：1．
（2）證明∵EF∥GH，且EF：AC=1：3，GH：AC=1：4，
∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．
令EH∩FG=P，則P∈EH，而EH?平面ABD，
P∈FG，FG?平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴P∈BD．∴EH、FG、BD三線共點．

點評：本題考查直線與平面平行的判定與性質，考查三線共點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．