Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=3，PB=PD=3

2

，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）證明：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-CE-D的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？如果存在，指出F的位置，如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，判斷出AB=AD=AC=3，進而在△PAB中，推斷出PA²+AB²=PB²，可知PA⊥AB，同理也可證明出PA⊥AD，進而根據線面垂直的判定定理推斷出PA⊥平面ABCD．
（2）運用空間向量的數量積求解：平面ACE的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁）；平面CDE的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂）；再運用法向量的數量積求解即可，判定是鈍角還是銳角．
（3）假設在棱PC上存在一點F，使得BF∥平面AEC，

CF

=λ

CP

，

BF

=（-

3

2

-

3λ

2

，

3 3

2

-

3 3

2

λ，3λ），利用

n1

•

BF

=0，求解即可．

解答： （1）證明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=3，
∴AB=AD=AC=3，
∵PB=PD=3

2

，
∴根據勾股定理：PB²=AP²+AB²，PD²=AP²+AD²，
∴∠PAB=∠PAD=90°，
即AP⊥AB，AP⊥AD，
∵AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD；
（2）以AB為x軸，以過A點CD的垂直平分線為y軸，以AP為z軸，建立空間坐標系．
∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=3，PB=PD=3

2

，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
根據已知條件可得：A（0，0，0），C（

3

2

，

3 3

2

，0），D（-

3

2

，

3 3

2

，0），P（0，0，3），E（-1，

3

，1）

CE

=（-

5

2

，-

3

2

，1），

AC

=（

3

2

，

3 3

2

，0），

CD

=（-3，0，0），
平面ACE的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁）；平面CDE的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂）；
∴

n1 • CE =0 n1 • AC =0

，

n2 • CE =0 n2 • CD =0

n1

=（

3

，-1，2

3

），

n2

=（0，2，

3

），

n1

•

n2

=-2+6=4，
cos＜

n1

•

n2

＞=

4

4× 7

=

7

7

．
∵二面角A-CE-D是鈍二面角，
∴二面角A-CE-D的余弦值-

7

7

；
（3）假設在棱PC上存在一點F，使得BF∥平面AEC，
∵

CF

=λ

CP

，

BF

=

BC

+

CF

=

AD

+

CF

，

BC

=

AD

=（-

3

2

，

3 3

2

，0），
∴

CF

=λ（-

3

2

，-

3 3

2

，3），

3

（　　）
∴

BF

=（-

3

2

-

3λ

2

，

3 3

2

-

3 3

2

λ，3λ），
∵BF∥平面AEC，
∴

n1

•

BF

=0，
∴

3

（-

3

2

-

3λ

2

）-（

3 3

2

-

3 3

2

λ）+2

3

×（3λ）=0，
λ=

1

2

∴存在F點，F為CP中點，使得BF∥平面AEC

點評：本題考察空間幾何體的直線平面的位置關系的判定，運用空間向量求解面面角，判定平行問題，屬于難題，注意坐標點準確求解．