Question

集合A={x∈R|x=a+b,a、b∈Z}，判斷下列元素x與集合A的關系：

（1）x = 0；

（2）；

（3）；

（4）x₁∈A，x₂∈A，x=x₁+x₂；

（5）x₁∈A，x₂∈A，x=x₁x₂?；

（6）試求滿足0＜a+b＜1的A中元素的個數（a、b∈Z）.

Answer 1

解析：(1)0=0+0×3，∴0∈A.?

(2) =2-=2+(－1)×，?

∴∈A.?

(3),∵不是整數,?

∴A.?

(4)x ₁∈A，可設x ₁=a₁+3b₁,a₁、b₁∈Z，同理,x ₂=a₂+3b₂,a₂、b₂∈Z,?

∴x= x ₁+x ₂=a₁+a₂+3(b₁+b₂).?

由a₁+a₂∈Z且b₁+b₂∈Z,∴x∈A.?

(5)同上x=x ₁x ₂=a₁a₂+3b₁b₂+3(a₁b₂+a₂b₁),?

由a₁a₂+3b₁b₂∈Z,(a₁b₂+a₂b₁)∈Z,?

∴x∈A.?

(6)由0＜a+b＜1-b＜a＜-b+1，若b=0，A為空集；?

若b≠0，在相差為1的兩個無理數之間恰有一個整數，此時A中滿足條件的元素恰有一個.