Question

直線x+y=a 與圓x²+y²=1交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若

OA

•

OB

=a，則a的值為（　　）

• A、

  1± 5

  2

• B、

  1- 5

  2

• C、

  -1- 5

  2

• D、

  -1+ 5

  2

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質

專題：直線與圓

分析：聯立方程得到方程組，消元得到2x²-2ax+a²-3=0，由韋達定理得x₁x₂，y₁y₂的值，再由

OA

•

OB

=a，代入可求解．

解答： 解：聯立直線x+y=a與圓x²+y²=1，消掉y并整理得：2x²-2ax+a²-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達定理得：
x₁+x₂=a，x₁x₂=

a2-1

2

，
∴y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂ =a²-a²+x₁x₂=

a2-1

2

．
又

OA

•

OB

=a，∴x₁x₂+y₁y₂=a，代入可得a²-a-1=0，解得a=

1- 5

2

 或a=

1+ 5

2

．
由題意可得

OA

•

OB

∈[-1，1]，∴a=

1- 5

2

，
故選：B．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，注意韋達定理及整體思想的運用，屬基礎題．