Question

已知函數f（x）=ax-1-2lnx．
（1）當a=1時，求f（x）的最小值；
（2）若a≥2，求證：函數f（x）在（0，e）上無零點．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）先求f（x）=x-1-2lnx的定義域，求導f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

，從而由導數確定最小值；
（2）求導f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，從而確定函數的單調性與最值，從而證明函數f（x）在（0，e）上無零點．

解答： 解：（1）由題意，f（x）=x-1-2lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

，
故當0＜x＜2時，f′（x）＜0，
當x＞2時，f′（x）＞0，
故f_min（x）=2-1-2ln2=1-2ln2；
（2）證明：f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，
故當0＜x＜

2

a

時，f′（x）＜0，
當

2

a

＜x＜e時，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，

2

a

）上是減函數，在（

2

a

，e）上是增函數；
又∵f（

2

a

）=a•

2

a

-1-2ln

2

a

=1-2ln

2

a

，
∵a≥2，∴0＜

2

a

≤1，
∴1-2ln

2

a

≥1；
∴f（x）≥1；
故函數f（x）在（0，e）上無零點．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．