Question

已知點（，是常數），且動點到軸的距離比到點的距離小.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）（i）已知點，若曲線上存在不同兩點、滿足，求實數的取值范圍；
（ii）當時，拋物線上是否存在異于、的點，使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）動點的軌跡的方程為；（2）（i）實數的取值范圍是；
（ii）詳見解析.

試題分析：（1）首先由題意得到動點到直線和動點到點的距離相等，從而得到動點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，從而求出軌跡的方程；（2）（i）先由得到點為線段的中點，并設點，從而得到，并設直線的方程為，與拋物線的方程聯立，結合與韋達定理在中消去，從而求解參數的取值范圍；（ii）先假設點存在，先利用（i）中的條件求出點、兩點的坐標，并設點的坐標為，設圓的圓心坐標為，利用、、三點為圓上的點，得到及，利用兩點間的距離公式得到方程組，在方程組得到、與的關系式，然后利用導數求出拋物線在點的切線的斜率，利用切線與圓的半徑垂直，得到兩直線斜率之間的關系，進而求出的值，從而求出點的坐標.
試題解析：（1）；
（2）（i）設，兩點的坐標為，且，
∵，可得為的中點，即．
顯然直線與軸不垂直，設直線的方程為，即，
將代入中，得．      2分 
∴ ∴． 故的取值范圍為．
（ii）當時，由（i）求得，的坐標分別為
假設拋物線上存在點（且），使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線．設圓的圓心坐標為，
∵ ∴
即    解得
∵拋物線在點處切線的斜率為，而，且該切線與垂直，
∴．即．  
將，代入上式，得．
即．∵且，∴．
故滿足題設的點存在，其坐標為．