Question

設F是拋物線G：x²=4y的焦點，設A、B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足

FA

•

FB

=0，延長AF、BF分別交拋物線G與C、D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由x²=4y可得焦點F（0，1），設AF的方程為y=kx+1，則BF的方程為y=-

1

k

x+1，（k≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．聯立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0，利用根與系數的關系可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4（1+k²），同理可得|CD|=4(1+

1

k2

)，四邊形ABCD面積S=

1

2

|AB|•|CD|=8(2+k2+

1

k2

)，利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：由x²=4y可得焦點F（0，1），
設AF的方程為y=kx+1，則BF的方程為y=-

1

k

x+1，（k≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0，可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[16k2+16]

=4（1+k²），
同理可得|CD|=4(1+

1

k2

)，
∴四邊形ABCD面積S=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

×4(1+k2)×4(1+

1

k2

)
=8(2+k2+

1

k2

)≥8(2+2

k2• 1 k2

)=32．
當且僅當k=±1時取等號．
∴四邊形ABCD面積的最小值為32．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯立可得根與系數的關系、弦長關公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、四邊形的面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．