Question

已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，且拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)滿(mǎn)足，若邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為（為常數(shù)且）．
（1）求的值；
（2）為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，，，的面積分別記為，，，求證：為定值．

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)試題解析．

解析試題分析：（1）由已知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)滿(mǎn)足，從而知BC邊上的中點(diǎn)符合，因此點(diǎn)在直線(xiàn)上，令，可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求得的值；（2）首先設(shè)出的坐標(biāo)：，由已知，即可得，而，最終即可證得為定值．
試題解析：（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)滿(mǎn)足，取BC邊上的中點(diǎn)，則，故點(diǎn)在直線(xiàn)上，令，得，得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，于是，．                                    5分
（2）記，由知：，     7分
且．于是，
．證畢．                                13分
考點(diǎn)：1．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系；3．解析幾何中定值問(wèn)題的解法．