Question

【題目】已知函數f（x）= ，x∈[2，6]．
（1）證明f（x）是減函數；
（2）若函數g（x）=f（x）+sinα的最大值為0，求α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證法一：

設2≤x1＜x2≤6，

則 = ，

由2≤x1＜x2≤6，得x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

于是f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴函數 在[2，6]上是減函數．

證法二：∵函數f（x）= ，

∴f′（x）= ，

當x∈[2，6]時，f′（x）＜0恒成立，

故函數 在[2，6]上是減函數

（2）解：由（1）知f（x）在[2，6]上單調遞減，

∴f（x）max=f（2）=1．

于是1+sinα=0，即sinα=﹣1，

∴ ，k∈Z

【解析】（1）證法一：設2≤x1＜x2≤6，作差判斷出f（x1）＞f（x2），進而可得：函數 在[2，6]上是減函數．

證法二：求導，根據x∈[2，6]時，f′（x）＜0恒成立，可得：函數 在[2，6]上是減函數；（2）由（1）知f（x）在[2，6]上單調遞減，故1+sinα=0，進而得到答案．

【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)的相關知識才是答題的關鍵．