Question

【題目】已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （13分）
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和（n∈N*）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．由已知b2+b3=12，得 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因?yàn)閝＞0，解得q=2．所以， ．
由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8．
由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16，聯(lián)立①②，解得a1=1，d=3，
由此可得an=3n﹣2．
所以，{an}的通項(xiàng)公式為an=3n﹣2，{bn}的通項(xiàng)公式為 ．
（Ⅱ）解：設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 由a2n=6n﹣2，有 ， ，
上述兩式相減，得 = ．
得 ．
所以，數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為（3n﹣4）2n+2+16．
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．通過(guò)b2+b3=12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 利用錯(cuò)位相減法，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和即可．