Question

在橢圓

x2

4

+

y2

7

=1上求一點P，使其到直線l：3x-2y-16=0的距離最短．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由P在橢圓7x²+4y²=28上，求點P到直線3x-2y-16=0的距離的最小值，對稱平行線方程，利用直線與橢圓相切由此能求出點P到直線3x-2y-16=0的距離的最小值．并且求出切點坐標．

解答： 解：橢圓

x2

4

+

y2

7

=1化為7x²+4y²=28，P在橢圓7x²+4y²=28上，
點P到直線3x-2y-16=0的距離的最小值，轉化為平行線與橢圓相切時，平行線之間的距離，設平行線方程為：3x-2y+m=0，與橢圓聯立可得：16x²+6mx-28+m²=0，平行線與橢圓相切，所以△=0，
可得36m²-4×16（m²-28）=0．
，解得m=±8，m=-8時，滿足題意．此時P的橫坐標x=

3

2

，縱坐標為：y=-

7

4

．
所求P的坐標(

3

2

，-

7

4

)．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意橢圓的參數方程、點到直線的距離公式、三角函數的性質的靈活運用．