Question

函數(shù)f（x）和g（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

，則F（x）=

f(x)

g(x)

在定義域內(nèi)的增區(qū)間為（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）和（1，+∞）
• D、（-∞，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，列出方程組求f（x）和g（x）的解析式，然后代入F（x）=

f(x)

g(x)

，化簡(jiǎn)，求定義域，求增區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

 ①，
∴f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=

1

x2+x+1

 ②，
①②聯(lián)立可解得f（x）=

x2+1

(x2-x+1)(x2+x+1)

，g（x）=

2x

(x2-x+1)(x2+x+1)

，
則F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+1

2x

，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
∵F（x）=

x2+1

2x

=

1

2

（x+

1

x

），
∴F′（x）=

1

2

（1-

1

x2

），
令F′（x）=

1

2

（1-

1

x2

）＞0，解得x＜-1或x＞1，
則F（x）=

f(x)

g(x)

在定義域內(nèi)的增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性以及函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力，屬于中檔題目．