Question

已知函數f（x）=2sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最小正周期為π，且

π

6

是它的一個零點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若α，β∈[0，

π

2

]，f（

a

2

+

5π

12

）=

2

，f（

β

2

+

π

6

）=

3

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據函數的周期和零點求出ω，φ，即可求函數f（x）的解析式；
（2）利用兩角和差的余弦公式進行求解即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=2sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最小正周期為π，
∴

2π

ω

=π，解得ω=2，
則f（x）=2sin（2x-φ）           …（2分）
又

π

6

是它的一個零點，
即2×

π

6

-φ=kπ，…（4分）
則φ=

π

3

-kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜

π

2

             …（5分）
∴當k=0時，φ=

π

3

                                 …（6分）
故f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-

π

3

）        …（7分）
（2）由（1）f（x）=2sin（2x-

π

3

） 
又∵f（

a

2

+

5π

12

）=

2

，f（

β

2

+

π

6

）=

3

∴sin（α+

π

2

）=

2

2

，sinβ=

3

2

                …（9分）
∴cosα=

2

2

，
又α，β∈[0，

π

2

]，
∴α=

π

4

，β=

π

3

，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

×

1

2

-

2

2

×

3

2

=

2 - 6

4

                                      …（12分）

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，根據條件求出函數f（x）的解析式是解決本題的關鍵．