Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且滿足

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的值；
（2）若b=

19

，a+c=5且a＞c，求a，c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）由余弦定理列出關(guān)系式，把b與cosB的值代入得到關(guān)于a與c的方程，與a+c=5聯(lián)立求出a與c的值即可．

解答： 解：（1）∵

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，由正弦定理得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
∴cosB（2sinA+sinC）+sinBcosC=0，
∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBsinC=0，即2cosBsinA+sin（C+B）=0，
又∵sinA=sin（C+B），sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，
∴B=

2π

3

；
（2）依題意，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得，a²+c²+ac=19，
又∵a+c=5，
解得：a=3，c=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．