Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8,點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線的交點在橢圓上，求點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的離心率公式求得,由橢圓的準(zhǔn)線方程,則，即可求得和的值，則，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)點坐標(biāo)，分別求得直線的斜率及直線的斜率，則可求得及的斜率及方程，聯(lián)立求得點坐標(biāo)，由滿足橢圓方程，求得，結(jié)合在橢圓E上，聯(lián)立即可求得點坐標(biāo).

試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c．因為橢圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

（2）由（1）知，，．設(shè)，因為為第一象

限的點，故．當(dāng)時，與相交于，與題設(shè)不符．

當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為， 直線的斜率為，直線的斜率為，

從而直線的方程，① 直線的方程，②

由①②，解得，所以．因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或．又在橢圓E上，故．

由，解得；，無解．因此點P的坐標(biāo)為．

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.