Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)和，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），求線段長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）．

【解析】

（1）橢圓的離心率和其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積，得，，方程組求解，即可寫出橢圓方程．

（2）直線與圓相切得，，再聯(lián)立直線和橢圓，得到關(guān)于的一元二次方程，利用由韋達(dá)定理分別得到，，，，將表示為關(guān)于的函數(shù)，再求取值范圍．

（1）橢圓的離心率為，

，即，①

又其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．

，即，②

，③

由①②③得，，，

橢圓方程為．

（2）直線與圓相切，

，即，

直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)和，設(shè)，，，，

聯(lián)立，得，

△，

，，

，，

，，

又因?yàn)?/span>，

把上面 代入上式，得，

，又，

，∴，

令則，，所以，

線段長度的取值范圍．