Question

已知在數列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*．
（1）證明數列{a_n}是等差數列，并求a_n的通項公式；
（2）設數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，證明：T_n＜

1

6

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得得（2n+2）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），從而2a_n+1=a_n+2+a_n，由此能證明數列{a_n}是等差數列，并能求出a_n．
（2）由

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用裂項求和法能證明T_n＜

1

6

．

解答： （1）證明：∵在數列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*，
∴（n+2）a_n+1-（n+1）a_n+2=1，
兩式相減，得（2n+2）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），即2a_n+1=a_n+2+a_n
所以數列{a_n}是等差數列．
由

a1=3 2a1-a2=1

，得a₂=5，∴d=a₂-a₁=5-3=2，
故a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）證明：∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴T_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

1

6

-

1

4n+6

＜

1

6

．
∴T_n＜

1

6

．

點評：本題考查等差數列的證明和數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要注意裂項求和法的合理運用．