Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)大于0，公差d=1，且

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

3

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=-1，b₂=λ，b_n+1=

1-n

n

b_n+

(-1)n-1

an

，其中n≥2．
①求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n；
②是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1

a1a2

+

1

a2a3

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)=

1

a1

-

1

a3

=

1

a1

-

1

a1+2

=

2

3

，從而a12+2a1-3=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）①由已知得

nbn+1

(-1)n+1

=

(n-1)bn

(-1)n

+1，令c_n=

(n-1)bn

(-1)n

，則c₂=λ，c_n+1=c_n+1，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
②若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則有λ2=(-1)(-

1+λ

2

)，由此能求出存在實(shí)數(shù)λ=1，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)大于0，公差d=1，且

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

3

，…（2分）
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)=

1

a1

-

1

a3

=

1

a1

-

1

a1+2

=

2

3

，…（3分）
整理得a12+2a1-3=0，解得a₁=1或a₁=-3（舍去）．…（4分）
因此數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=n．…（5分）
（2）①∵bn+1=

1-n

n

b_n+

(-1)n-1

n

，
∴

nbn+1

(-1)n+1

=

(n-1)bn

(-1)n

+1．…（6分）
令c_n=

(n-1)bn

(-1)n

，則有c₂=λ，c_n+1=c_n+1，（n≥2）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=c₂+（n-2）=n-2+λ，bn=

(n-2+λ)(-1)n

n-1

．…（8分）
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=

-1，n=1 (n-2+λ)(-1)n n-1 ，n≥2

．…（9分）
②∵b₁=-1，b₂=λ，b3=-

1+λ

2

，…（10分）
∴若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則有b22=b₁b₃，
即λ2=(-1)(-

1+λ

2

)，解得λ=1或λ=-

1

2

．…（11分）
當(dāng)λ=-

1

2

時(shí)，bn=

(2n-5)(-1)n

2(n-1)

（n≥2），

bn+1

bn

不是常數(shù)，數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列，
當(dāng)λ=1時(shí)，b₁=-1，bn=(-1)n，（n≥2），數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
所以，存在實(shí)數(shù)λ=1，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算、遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列裂項(xiàng)求和公式、等比數(shù)列的定義，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．