Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y=4x+m，橢圓C上有兩個不同的點關于直線l對稱．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：第一步：設橢圓上關于直線l對稱的兩點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀）；
第二步：將A，B兩點坐標代入橢圓方程中，由點差法得AB的斜率k_AB與中點坐標（x₀，y₀）的關系式，又由l⊥AB，得x₀與y₀的關系；
第三步：將坐標（x₀，y₀） 代入l的方程中，得x₀與y₀的另一個關系；
第四步：由第二、三步的兩個關系式，可將x₀，y₀用m表示；
第五步：將x₀，y₀代入橢圓方程的左邊，根據M在橢圓內部，得到關于m的不等式，解此不等式即可．

解答： 解：設橢圓上關于直線l對稱的兩點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB的中點為M（x₀，y₀），
則由

x 2 1 4 + y 2 1 3 =1 x 2 2 4 + y 2 2 3 =1

，兩式相減得

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，
即

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
又由直線AB的斜率kAB=

y1-y2

x1-x2

，以及中點公式

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

，
得

x0

4

+

y0

3

•kAB=0，即kAB=-

3x0

4y0

，又由l⊥AB，得kAB=-

1

4

，
∴-

3x0

4y0

=-

1

4

，即y=3x．…①
∵點M在直線l上，∴y₀=4x₀+m．…②
聯立①、②，得

x0=-m y0=-3m

，即M（-m，-3m），
根據點M在橢圓的內部，得

(-m)2

4

+

(-3m)2

3

＜1，
解得-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．

點評：本題考查了直線與橢圓的相交關系，點關于直線的對稱性，參數范圍的求解等，關鍵是通過消參，找到參數m與中點坐標x₀，y₀的關系，處理參數范圍問題的一般步驟是：
1、設參；
2、建立等量關系，并消去多余參數；
3、尋找不等關系，解不等式．