Question

已知拋物線(xiàn)C₁：x²=4py，圓C₂：x²+（y-p）²=p²，直線(xiàn)l：y=

1

2

x+p，其中＞0，直線(xiàn)l與C₁，C₂的四個(gè)交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次為A，B，C，D，則

AB

•

CD

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，圓的圓心和半徑，由拋物線(xiàn)的定義得：|AB|=|AF|-|BF|=y₁，同理|CD|=y2，則

AB

•

CD

=|

AB

|•|

CD

|=y₁y₂，聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程且消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得到．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
拋物線(xiàn)C₁：x²=4py的焦點(diǎn)為F（0，p），圓C₂：x²+（y-p）²=p²，圓心為（0，p），半徑為p，
由題意得|BF|=|CF|=p，
由拋物線(xiàn)的定義得：|AB|=|AF|-|BF|=p+y₁-p=y₁，同理得|CD|=y₂
則

AB

•

CD

=|

AB

|•|

CD

|=y₁y₂．
聯(lián)立直線(xiàn)l：y=

1

2

x+p與拋物線(xiàn)x²=4py的方程且消去x得：4y²-12py+4p²=0
解得：y₁y₂=p²
所以

AB

•

CD

=p²．
故答案為：p²．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是對(duì)拋物線(xiàn)的定義要熟悉，即拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，同時(shí)考查聯(lián)立直線(xiàn)方程好額拋物線(xiàn)方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，屬于中檔題．