Question

【題目】已知函數f（x）＝ln（2＋ax）（a＞0），（b∈R）．

（1）若函數f（x）的圖象在點（3，f（3））處的切線與函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行，求a，b之間的關系；

（2）在（1）的條件下，若b＝a，且f（x）≥mg（x）對任意x∈[，＋∞）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（－∞，]

【解析】

（1）對函數求導，再根據在兩點處的切線的斜率相等，得到f'（3）＝g'（1），進而得到參數的關系；（2）先由b＝a求出參數值，令，則問題轉化為h（x）≥0對任意x∈[，＋∞）恒成立，對m分情況，對h(x)求導研究函數的單調性，得到函數最小值，最小值大于等于0即可.

（1），，

因為函數f（x）的圖象在點（3，f（3））處的切線與函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行，

所以f'（3）＝g'（1）．

所以，化簡得．

（2）由（1）得，，

若b＝a，則，解得a＝2或（舍去，因為a＞0）．

所以a＝b＝2．

所以f（x）＝ln（2＋2x），．

令2＋2x＞0，得x＞－1，則函數f（x）＝ln（2＋2x）的定義域是（－1，＋∞）；

令1＋x≠0，得x≠－1，則函數的定義域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）．

f（x）≥mg（x）對任意x∈[，＋∞）恒成立，即對任意x∈[，＋∞）恒成立．

令，則問題轉化為h（x）≥0對任意x∈[，＋∞）恒成立．

．

①當，即x＋1－m≥0時，h'（x）≥0且h'（x）不恒為0，

所以函數在區間[，＋∞）上單調遞增．

又，

所以h（x）≥0對任意x∈[，＋∞）恒成立．故符合題意．

②當時，令，得；

令，得x＞m－1．

所以函數在區間[，m－1）上單調遞減，在區間（m－1，＋∞）上單調遞增，

所以．即當時，存在，使h（x0）＜0．

故知h（x）≥0對任意x∈[，＋∞）不恒成立．故不符合題意．

綜上可知，實數m的取值范圍是（－∞，]．