Question

已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設橢圓的上、下頂點分別為，是橢圓上異于的任意一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值．

Answer 1

（1）；（2）定值為2，證明見解析．

試題分析：（1）根據橢圓的離心率、長軸與短軸的關系建立的方程可求得橢圓的方程；；（2）設，然后用此點坐標分別表示出、的方程，然后根據直線與圓相切性質、平面幾何知識化為的關系，進而確定其為定值．
試題解析：（1）由題意可得，得  ①．
又，即   ②，
解①②，得，
∴橢圓的方程為．
（2）由（1）知，設，則
直線的方程為，令，得．
直線的方程為，令，得．
設，則
＝，
，
∴＝．
∵，即，
∴＝，∴，即線段的長為定值2．