Question

【題目】設函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（I）討論f(x)的單調性；

（II）確定a的所有可能取值，使得在區間（1，+∞）內恒成立(e=2.718…為自然對數的底數)。

Answer 1

【答案】(1) 當 時，<0，單調遞減；當 時，>0，單調遞增;(2) .

【解析】

試題分析：本題考查導數的計算、利用導數求函數的單調性，解決恒成立問題，考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第（Ⅰ）問，對求導，再對a進行討論，從而判斷函數的單調性；第（Ⅱ）問，利用導數判斷函數的單調性，從而證明結論.

試題解析：（Ⅰ）

<0，在內單調遞減.

由=0，有.

此時，當 時，<0，單調遞減；

當 時，>0，單調遞增.

（Ⅱ）令=，=.

則=.

而當時，>0，

所以在區間內單調遞增.

又由=0，有>0，

從而當時，>0.

當，時，=.

故當>在區間內恒成立時，必有.

當時，>1.

由（Ⅰ）有,從而，

所以此時>在區間內不恒成立.

當時，令，

當時，，

因此，在區間單調遞增.

又因為，所以當時，，即恒成立.

綜上，.