Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數，f（1）=﹣ ．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）在定義域為R上是奇函數，所以f（0）=0，

即 =0，解得：b=1，

又由f（1）=﹣ ，即 =﹣ ，解得：a=1，

經檢驗b=1，a=1滿足題意

（2）解：證明：由（1）知f（x）= ，任取x1，x2∈R，設x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

因為函數y=2x在R上是增函數且x1＜x2，

∴ ﹣ ＞0

又（ +1）（ +1）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上為減函數

【解析】（1）根據函數的奇偶性求出b的值，根據f（1）的值，求出a即可；（2）根據函數單調性的定義證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．