Question

已知定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）滿足f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且當x＞1時f（x）＜0．
（1）求f（1）的值
（2）判斷f（x）的單調性
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂代入可得f（1）=0
（2）設x₁＞x₂＞0   則

x1

x2

＞1，f(

x1

x2

)＜0，代入即可得證．
（3）先根據f（3）=-1將2化為f（

1

9

），進而由函數的單調性解不等式．

解答：解：（1）令x₁=x₂得f（1）=0
（2）設x₁＞x₂＞0   則

x1

x2

＞1，f(

x1

x2

)＜0∴f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0
所以f（x）在（0，+∞）為減函數；
（3）∵f（1）=0，f（3）=-1∴f(3)=f(

1

1 3

)=f(1)-f(

1

3

)
∴f(

1

3

)=f(1)-f(3)=1，f(

1

9

)=f(

1

3

)-f(3)=2
∴f(|x|)＜2?f(|x|)＜f(

1

9

)?|x|＞

1

9

所以原不等式的解集為{x|x＜-

1

9

，或x＞

1

9

}．

點評：本題主要考查抽象函數求值和單調性的問題．根據函數單調性解不等式是考查的重點．