Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中點，AB=AA1=2.

（I）求證：平面AB1D⊥平面BB1C1C；

（II）求證：A1C∥平面AB1D；

（III）求三棱錐A1-AB1D的體積.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析；（III）.

【解析】試題分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，即可得出平面平面；

（2）連接，設，連接，由中位線定理可得，得到平面；

（3）根據，即可求得三棱錐的體積.

試題解析：

（I）證明：由已知△ABC為正三角形，且D是BC的中點，所以AD⊥BC.因為側棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，所以BB1⊥底面ABC.又因為AD底面ABC，所以BB1⊥AD.而B1BBC=B，所以AD⊥平面BB1C1C.因為AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥平面BB1C1C.

（II）證明：連接A1B，設A1BAB1=E，連接DE.

由已知得，四邊形A1ABB1為正方形，則E為A1B的中點.

因為D是BC的中點，所以DE∥A1C.

又因為DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

所以A1C∥平面AB1D.

（III）由（II）可知A1C∥平面AB1D，所以A1與C到平面AB1D的距離相等，

所以.由題設及AB=AA1=2，得BB1=2，且.

所以=×，

所以三棱錐A1-AB1D的體積為.