Question

對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q使得c_n+1＝pc_n＋q對于任意n∈NN*都成立，我們稱數列{c_n}是“M類數列”．

(1)若a_n＝2n，b_n＝3·2ⁿ，n∈N^*，數列{a_n}、{b_n}是否為“M類數列”？若是，指出它對應的實常數p，q，若不是，請說明理由；

(2)證明：若數列{a_n}是“M類數列”，則數列{a_n＋a_n+1}也是“M類數列”；

(3)若數列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋a_n+1＝3t·2ⁿ(n∈N^*)，t為常數．求數列{a_n}前2009項的和．并判斷{a_n}是否為“M類數列”，說明理由；

(4)根據對(2)(3)問題的研究，對數列{a_n}的相鄰兩項a_n、a_n+1，提出一個條件或結論與“M類數列”概念相關的真命題，并探究其逆命題的真假．

Answer 1

答案：
解析：

解：1)因為an＝2n則有an+1＝an＋2，n∈N* 　　故數列{an}是“M類數列”，對應的實常數分別為1，2　　2分 　　因為bn＝3·2n，則有bn+1＝2bn　n∈N* 　　故數列{bn}是“M類數列”，對應的實常數分別為2，0　　4分 　　(2)證明：若數列{an}是“M類數列”，則存在實常數p，q， 　　使得an+1＝pan＋q對于任意n∈N*都成立， 　　且有an+2＝pan+1＋q對于任意n∈N*都成立　　6分 　　因此(an+1＋an+2)＝p(an＋an+1)＋2q對于任意n∈N*都成立， 　　故數列(an＋an+1)也是“M類數列”　　8分 　　對應的實常數分別為p，2q　　9分 　　(3)因為an＋an+1＝3t·2n(n∈N*)則有a2＋a3＝3t·22，a4＋a5＝3t·24……， 　　a2006＋a2007＝3t·22006，a2008＋a2009＝3t·22008 　　故數列{an}前2009項的和 　　S2009＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋……＋(a2006＋a2007)＋(a2008＋a2009) 　　＝2＋3t·22＋3t·24＋……＋3t·22006＋3t·22008＝2＋t(22010－4)　　11分 　　若數列{an}是“M類數列”，則存在實常數p，q 　　使得an+1＝pan＋q對于任意n∈N*都成立， 　　且有an+2＝pan+1＋q對于任意n∈N*都成立， 　　因此(an+1＋an+2)＝p(an＋an+1)＋2q對于任意n∈N*都成立， 　　而an＋an+1＝3t·2n(n∈N*)，且an＋an+1＝3t·2n(n∈N*) 　　則有3t·2n+1＝3t·p2n＋2q對于任意n∈N*都成立，可以得到t(p－2)＝0，q＝0， 　　(1)當p＝2，q＝0時，an+1＝2an，an＝2n，t＝1，經檢驗滿足條件． 　　(2)當t＝0，q＝0時，an+1＝－an，an＝2(－1)n－1，p＝－1經檢驗滿足條件． 　　因此當且僅當t＝1或t＝0，時，數列{an}也是“M類數列”．對應的實常數分別為2，0，或－1，0　　14分 　　(4)命題一：若數列{an}是“M類數列”，則數列{an－an+1}也是“M類數列”． 　　逆命題：若數列{an－an+1}是“M類數列”，則數列{an}也是“M類數列”． 　　當且僅當數列{an－an+1}是常數列、等比數列時，逆命題是正確的． 　　命題二：若數列{an}是等比數列，則數列{an＋an+1}、{an－an+1}、{an·an+1}、是“M類數列” 　　逆命題：若數列是“M類數列”則數列{an}是等比數列．逆命題是正確的． 　　命題三：若數列{an}是“M類數列”，則有． 　　逆命題：若，則數列{an}是“M類數列” 　　(1)若時逆命題是正確的． 　　(2)若時逆命題是正確的． 　　(命題給出2分，逆命題寫出2分，說明逆命題真假2分)